bredihin

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ АЛГЕБР ОТНОШЕНИЙ С БИНАРНОЙ
ДИОФАНТОВОЙ ОПЕРАЦИЕЙ
Д. А. Бредихин
Саратовский государственный технический университет
имени Гагарина Ю. А. , Саратов, Россия
Множество бинарных отношений  , замкнутое относительно некоторой совокупности  операций над ними, образует алгебру (, ) , называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная (, , ) отношением теоретико-множественного
включения  . Теория алгебр отношений является существенной составной
частью современной алгебраической логики и находит многочисленные
приложения в программировании, теории баз данных и других разделах
теоретической кибернетики.
Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А.Тарского [1,2]. Как правило, операции над отношениями задаются с помощью формул логики предикатов
первого порядка. Такие операции называются логическими. Логические
операции могут быть классифицированы по виду задающих их формул.
Операция называется диофантовой [3] (в другой терминологии примитивно-позитивной [4]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операции
конъюнкции и кванторы существования. Диофантовы операции допускают
описания с помощью графов [3, 4]. Эквациональные и квазиэквациональные теории алгебр отношений с диофантовыми операциями описаны в
[5, 7].
Предметом нашего рассмотрения будут алгебры с одной бинарной
диофантовой операцией. Рассмотрение бинарных операций над отношениями играет в алгебраической логики предикатов роль аналогичную роли
бинарных булевых функций в пропозициональной логике высказываний.
Поэтому естественен интерес к алгебраическим свойствам указанных операций. Одной из важнейших бинарных диофантовых операций над отношениями является операция умножения отношений . Алгебры отношений
вида (, ) являются полугруппами и всякая полугруппа допускает изоморфное представление полугруппой бинарных отношений. В общем случае алгебра отношений вида (, ) , где  - некоторая бинарная операция
над отношением, образует группоид. Класс всех группоидов не имеет естественных представлений в виде алгебр бинарных отношений, поэтому с
точки зрения теории группоидов также представляет интерес рассмотрение
группоидов, представимых группоидами бинарных отношений. Некоторые
результаты в этом направлении можно найти в [8, 9].
Для заданного множества  операций над бинарными отношениями
обозначим через R{} (соответственно R{, } ) класс алгебр (упорядоченных алгебр) изоморфных алгебрам (упорядоченным алгебрам) отношений с операциями из  . Пусть Q{} (соответственно Q{, } ) - квазимногообразие и Var{} (соответственно V {, } ) - многообразие, порожденное классом R{} (соответственно R{, } ). Следующие проблемы
обычно рассматриваются при изучении различных конкретных классов алгебр отношений.
(1) найти систему элементарных аксиом для класса R{} ;
(2) выяснить является ли класс R{} конечно аксиоматизируемым;
(3) выяснить является ли класс R{} квазимногообразием;
(4) найти базис квазитождеств квазимногообразия Q{} ;
(5) выяснить является ли квазимногообразие Q{} конечно базируемым;
(6) выяснить является ли квазимногообразие Q{} многообразием;
(7) найти базис тождеств многообразия Var{} ;
(8) выяснить является ли многообразия Var{} конечно базируемым.
Аналогичные проблемы формулируются для упорядоченных классов
алгебр отношений.
Сосредоточим свое внимание на следующей диофантовой операции
над бинарными отношениями, определяемыми следующим образом:
    {( x, y}: (u, v) (u, x)    (u, v)  } .
Упорядоченным группоидом ( A, , ) назовем группоид ( A, ) , с заданным на множестве A отношением порядка  , согласованным с операцией группоида. Полурешеточно упорядоченный группоид - это алгебра
( A, , ) типа (2,2) , где ( A, ) - группоид, ( A,  ) - верхняя полурешетка, каноническое отношение порядка которой согласовано с операцией группоида. Элемент 0 называется нулевым элементом
группоида, если
x0  0 x  0 для любого x  A .
Основные результаты работы, решающие перечисленные выше проблемы для рассматриваемого класса алгебр отношений, формулируются в
следующих теоремах.
ТЕОРЕМА 1. Квазимногообразие Q{, } является многообразием,
то есть Q{, }  Var{ , } . Упорядоченный группоид ( A, , )
принадлежит многообразию Var{ , } тогда и только тогда, когда он
удовлетворяет следующим тождествам:
(( x1x) x3 ) 2  ( x1x) x3 ) (1), x12 (( x2 x3 ) x4 )  x1 (( x2 x3 ) x4 ) (2),
(( x1x) x3 ) x4  (( x1x) x3 ) x42 (3), x1 ((( x2 x3 ) x4 ) x1 )  x1 (( x2 x3 ) x4 ) (4),
(( x1x2 ) x3 )( x4 x5 )  (( x1x) x3 )( x5 x4 ) (5)
(( x1x2 ) x3 )( x4 x5 ) x7 )  (( x4 x5 ) x7 )( x1x) x3 ) (6),
(( x1x2 ) x3 )((( x4 x5 ) x6 ) x7 )  ((( x1x2 ) x3 ) x7 )(( x4 x5 ) x6 ) (7),
( x1 (( x2 x3 ) x4 ))(( x5 x6 ) x7 )  x1 (( x2 x3 ) x4 )(( x5 x6 ) x7 )) (8),
x1x2  x12 (9), (( x1x2 ) x3 )( x4 x5 )  (( x1x2 ) x3 ) x4 (10).
Класс R{, } не является квазимногообразием. Упорядоченный
группоид ( A, , ) принадлежит классу R{, } тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1) - (10) и следующим условиям:
( x2 x3 ) x4  0  x1 (( x2 x3 ) x4 )  x1 (11),
x4 x5  0  (( x1x2 ) x3 )( x4 x5 )  ( x1x2 ) x3 (12).
СЛЕДСТВИЕ. Полурешеточно упорядоченный группоид ( A, , )
принадлежит многообразию Var{ , } тогда и только тогда, когда он
удовлетворяет тождествам (1) – (8) и следующим тождествам:
x1 ( x2  x3 )  x1x2  x1x3 (13), ( x1  x2 ) x3 )  x1x3  x2 x3 (14),
x1x2  x12  x12 (15),
(( x1x2 ) x3 )( x4 x5 )  (( x1x2 ) x3 ) x4  (( x1x2 ) x3 ) x4 (16).
ТЕОРЕМА 2. Квазимногообразие Q{} не является многообразием и
не имеет конечного базиса квазитождеств. Группоид ( A, ) принадлежит
многообразию Var{ } тогда и только тогда, когда он удовлетворяет
тождествам (1) – (8) и следующему тождеству:
((( x1x2 ) x3 )( x4 x5 )) x5  (( x1x2 ) x3 )( x4 x5 ) (17).
Класс R{} не является квазимногообразием и не может быть охарактеризован никакой конечной системой элементарных аксиом. Группоид ( A, ) принадлежит классу R{} тогда и только тогда, когда он принадлежит квазимногообразию Q{} и удовлетворяет условиям (11) –(12).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tarski A. On the calculus of relations // J. Symbolic Logic. 1941. V 4. P. 73-89.
2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations// J.
Symbolic Logic. 1953. V. 18. P. 188-189.
3. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Доклады Российской Академии Наук. 1998. Т. 360. С. 594--595.
4. Boner P., Poschel F. Clones of operations on binary relations// Contributions to
general algebras. 91. V. 7. P. 50-70.
5. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными
операциями // Изв. Вузов. Матем. 1993. № 3. С. 23-30.
6. Andreka H., Bredikhin D. A. The equational theory of union-free algebras of relations // Alg. Univers. 1994. V. 33. P. 516-532.
7. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовами операциями // Сибирск. матем. журн. 1997. T. 38. С. 29-41.
8. Bredikhin D. A. On relation algebras with general superpositions// Colloq. Math.
Soc. J. Bolyai. 1994. V. 54. P. 11-124.
9. Bredikhin D. A. Varietes of groupoids associated with involuted restrictive bisemigroups of binary relations// Semigroup Forum. 1992. V. 44. P. 87-192.